Question

17．在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边的中点，分别连接AE、BF、CG、DH，已知图中四个角上的阴影小三角面积分别为a、b、c、d，求中间阴影四边形的面积．

Answer 1

分析 连接BD，由点H、F分别为AB、CD的中点，可得a+d+S₁+b+c+S₃与S_{四边形ABCD}的关系，S₂+S₄+S_中与S_{四边形ABCD}的关系，同理连接AC可得，a+d+b+c+S₂+S₄与S_{四边形ABCD}的关系S₁+S₃+S_中与S_{四边形ABCD}的关系，由四式相加，即可求出中间阴影四边形的面积．

解答 解：如图1，连接BD，

∵点H、F分别为AB、CD的中点，
∴a+d+S₁=S_△BDH=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
b+c+S₃=S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△BCD，
∴a+d+S₁+b+c+S₃=$\frac{1}{2}$（S_△ABD+S_△BCD）=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}①
S_△BDH+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，即S_{四边形BFDH}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴S₂+S₄+S_中=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，②
连接AC，同理可得
∴a+d+b+c+S₂+S₄=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}③，
S₁+S₃+S_中=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}④，
①+③=②+④，即：2（a+d+b+c）+S₁+S₃+S₂+S₄=S₁+S₃+S₂+S₄+2S_中，
∴S_中=a+b+c+d．

点评 本题主要考查了面积及等积变换，解题的关键是正确的作出辅助线，构造等积三角形．