Question

12．如图，Rt△ABC中，AC=2$\sqrt{3}$，∠CAB=30°，点D和点B分别在线段AC的异侧，且∠ADC=30°，连BD，则BD的最大值为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AB=4，由于∠ADC=30°，根据点与圆的位置关系的判定方法可得到点D在⊙O的弦AC所对的优弧上，如图，连结OA、OC，则当BD经过点O时，BD的值最大，再证明△OAC为等边三角形得到OA=AC=2$\sqrt{3}$，∠OAC=60°，则∠OAB=90°，于是根据勾股定理可计算出OB=2$\sqrt{7}$，所以BD的最大值为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．

解答 解：Rt△ABC中，AC=2$\sqrt{3}$，∠CAB=30°，则BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，AB=2BC=4，
∵∠ADC=30°，
∴点D在⊙O的弦AC所对的优弧上，
如图，连结OA、OC，
当BD经过点O时，BD的值最大，
∵∠AOC=2∠ADC=60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA=AC=2$\sqrt{3}$，∠OAC=60°，
∴∠OAB=60°+30°=90°，
在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴BD=OB+OD=2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$，
即BD的最大值为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了等边三角形的性质和圆周角定理．