Question

18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2$\sqrt{3}$．
（1）求AC的长度；
（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；
（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．

解答 解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠BOF=90°，
∵∠B=30°，FO=2$\sqrt{3}$，
∴OB=6，AB=2OB=12，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=6；

（2）∵由（1）可知，AB=12，
∴AO=6，即AC=AO，
在Rt△ACF和Rt△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AC=AO}\end{array}\right.$
∴Rt△ACF≌Rt△AOF，
∴∠FAO=∠FAC=30°，
∴∠DOB=60°，
过点D作DG⊥AB于点G，

∵OD=6，∴DG=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ACF+S_△OFD=S_△AOD=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
即阴影部分的面积是9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．