Question

9．已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（1，0），C（0，$-\frac{1}{2}$），点P为抛物线上一动点，直线y=-1与y轴交于点D．
（1）求此抛物线解析式；
（2）如图1连结OP并倍长至Q，试说明在直线y=-1上有且仅有一点M，使∠OMQ=90°；
（3）如图2连结PO并延长交抛物线于另一点T，求证：y轴平分∠PDT．

Answer 1

分析 （1）将抛物线的解析式设为两点式，再将C点坐标代入即可求出；
（2）作PM垂直定直线于M，可计算出PM=PO=PQ，即∠OMQ=90°，由于垂线段的唯一性，垂足也就是唯一的，结论显然；
（3）作TE垂直定直线于E，作PF垂直定直线于F，只需证∠EDE=∠PDF即可，即只需证$\frac{TE}{ED}=\frac{PF}{FD}$即可，因此设出直线PT的解析式，及P、T两点的坐标，将这四条线段用坐标表示．由于P、T是直线与抛物线的交点，故联立方程组，得出韦达定理结论，参与线段运算．通过运算，$\frac{TE}{ED}=\frac{PF}{FD}$肯定是成立的，从而结论自然成立．

解答 解：（1）
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-1），
将C点坐标代入可解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}$，
（2）作PM与定直线垂直，M为垂足，如图1，

设P（t，$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}$），则PM=$\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}$，
∵OP=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}$，
∴PM=PO=PQ，∴∠OMQ=90°
根据“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”可知，M是唯一的，
也就是说，以P为圆心，PO为半径的圆恰好与定直线y=-1相切于点M，切点M当然是唯一的，
故在直线y=-1上有且仅有一点M，使∠OMQ=90°．
（3）设直线PT的解析式为y=kx，作TE与定直线垂直，垂足为E，作PF与定直线垂直，垂足为F，如图2，

设P（x₁，y₁），T（x₂，y₂），

由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$消法y整理得：x²-2kx-1=0，
由韦达定理可知：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2k}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
又$\frac{TE}{ED}=\frac{{y}_{2}+1}{-{x}_{2}}$，$\frac{PF}{DF}=\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$，
$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+1}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}+1}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}•{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{-2k+2k}{-1}$=0，
∴$\frac{TE}{ED}=\frac{PF}{DF}$，
∴∠TDE=∠PDF，
∴∠ODT=∠ODP，
即：y轴平分∠PDT．

点评 本题考查了待定系数法求抛物线解析式、两点间的距离公式、直角形三角形斜边中线定理逆定理、韦达定理、相似三角形的判定与性质等知识点，技巧性很强，有一定难度．事实上，本题以一种巧妙的方式考查了抛物线的解析性质，（2）（3）问的解答过程也体现了解析特性，这里用到的解答技巧在高中解析几何的学习过程中会继续用到，务必引起重视．