Question

14．如图，抛物线y=x²+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴相交于点C（0，-3）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），连接AC、CD、AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使得以A、B、E、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法将D，C点代入，从而得到b，c的值而得解析式；
（2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证；
（3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB平行且等于EF，那么只需将E点的坐标向左或向右平移AB长个单位即可得出F点的坐标，然后将得出的F点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的F点．

解答 （1）解：由题意得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
则解析式为：y=x²+2x-3；

（2）证明：由题意结合图形
则解析式为：y=x²+2x-3，
当y=0时，0=x²+2x-3，
解得：x=1或x=-3，
由题意点A（-3，0），
∴AC=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{5}$，
由AC²+CD²=AD²，
所以△ACD为直角三角形；

（3）解：∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵点E在抛物线的对称轴上，
∴点E的横坐标为-1，
当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，
∴F的横坐标为3或-5，
把x=3或-5分别代入y=x²+2x-3，得到F的坐标为（3，12）或（-5，12）；
当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，
∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合，
∴F（-1，-4）．
∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用以及待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质等知识点，利用数形结合的数学思想方法得出是解题关键．