Question

19．定义：对于抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b²=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=x²-x+1是黄金抛物线
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）将黄金抛物线y=x²-x+1沿对称轴向下平移3个单位
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②新抛物线如图所示，与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于C，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
③当直线BC下方的抛物线上动点P运动到什么位置时，四边形 OBPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形OBPC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）直接根据黄金抛物线的定义写一个解析式即可；
（2）①根据平移的知识直接写出新抛物线的解析式；
②设P点坐标为（x，x²-x-2），PP′交CO于E，若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO，连结PP′则PE⊥CO于E，P点的横坐标为-1，进而解方程求出x的值；
③过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x²-x-2），先求出BC的直线解析式，进而设Q点的坐标为（x，x-2），根据S_{四边形OBPC}=S_△OBC+S_△BPQ+S_△CPQ列出x的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出满足条件的P点坐标以及面积最大值．

解答 解：（1）不唯一，例如：y=x²+x+1；
（2）①：y=x²-x-2；
②存在点P，如图1，使四边形POP′C为菱形．
设P点坐标为（x，x²-x-2），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO．
连结PP′则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=1，
∴y=-1，
∴x²-x-2=-1
解得x₁=$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，x₂=$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，-1）；
③过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x²-x-2），
易得，直线BC的解析式：y=x-2
则Q点的坐标为（x，x-2）．
S_{四边形OBPC}=S_△OBC+S_△BPQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$OB•OC+$\frac{1}{2}$QP•OF+$\frac{1}{2}$QP•FB=$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}（-{x^2}+2x）×2$
=-（x-1）²+3，
当x=1时，四边形OBPC的面积最大
此时P点的坐标为（1，-2），
四边形OBPC的面积最大值是3．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及黄金抛物线新定义、菱形的判定与性质、四边形面积的求法等知识，解答此题要掌握黄金抛物线的定义，解答（2）问需要掌握菱形的性质以及分割法求四边形的面积，此题难度不大．