Question

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解析式已存在，y=ax²+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为-$\frac{b}{2a}$，又过点A（-2，0），所以函数表达式易得；
（2）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵对称轴是x=3，
∴-$\frac{b}{2a}$=3，即6a+b=0，
两关于a、b的方程联立解得 a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．

（2）∵OC=4，OB=3，
∴BC=5．
如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，
∵D在x轴上，
∴D为（-2，0）或（8，0）．
①如图1，当D为（-2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P₁，P₂，
此时△P₁BC≌△P₁BD，△P₂BC≌△P₂BD，
∵BC=BD，
∴E为CD的中点，即E（-1，2），
设过E（-1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{2=-k+b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴BE：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
设P（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\sqrt{26}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{26}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\sqrt{26}}\\{y=\frac{\sqrt{26}-1}{2}}\end{array}\right.$，
则P₁（4+$\sqrt{26}$，-$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$），P₂（4-$\sqrt{26}$，$\frac{\sqrt{26}-1}{2}$）．
②如图2，当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P₃，P₄，
此时△P₃BC≌△P₃BD，△P₄BC≌△P₄BD，
∵BC=BD，
∴F为CD的中点，即F（4，2），
设过F（4，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{2=4k+b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴BF：y=2x-6．
设P（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{41}}\\{y=-8+2\sqrt{41}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{41}}\\{y=-8-2\sqrt{41}}\end{array}\right.$，
则P₃（-1+$\sqrt{41}$，-8+2 $\sqrt{41}$），P₄（-1-$\sqrt{41}$，-8-2$\sqrt{41}$）．
综上所述，点P的坐标为（4+$\sqrt{26}$，-$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$）或（4-$\sqrt{26}$，$\frac{\sqrt{26}-1}{2}$）或（-1+$\sqrt{41}$，-8+2 $\sqrt{41}$）或（-1-$\sqrt{41}$，-8-2$\sqrt{41}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及一次函数、二次函数的图象与性质，函数的意义及二元一次方程求解等知识，本题难度适中，但想做全答案并不容易，是道非常值得学生练习的题目．