Question

16．AD是⊙O的直径，AD⊥BC，AB、AC分别与圆相交于E，F，求证：AB•AE=AF•AC．

Answer 1

分析 连接DE、DF，如图，先根据圆周角定理由AD是⊙O的直径得到∠AED=∠AFD=90°，而∠AD′B=∠AD′C=90°，则可判断B、D′、D、E四点共圆，C、D′、D、F四点共圆，然后根据切割线定理得AE•AB=AD•AD′，AF•AC=AD•AD′，则AE•AB=AF•AC．

解答 解：连接DE、DF，设AD⊥BC垂足为D′，
∴AD′⊥BC，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵AD′⊥BC，
∴∠AD′B=∠AD′C=90°，
∴B、D′、D、E四点共圆，C、D′、D、F四点共圆，
∴AE•AB=AD•AD′，AF•AC=AD•AD′，
∴AB•AE=AF•AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．