Question

8．在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，点D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，线段CD的垂直平分线交直线AB于点F，交CD于点G．
（1）如图1，若点D在线段CB上，求证：EF=$\frac{1}{2}$AB；
（2）如图2，若点D为CB延长线上一点，（1）中结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立．说明理由；
（3）在（2）的条件下，若DE=8，AF•BF=28，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点D作DH垂直BD，交AB于H点．构建相似三角形△BDH∽△BCA，由相似三角形的性质推知△BDH是等腰直角三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质和梯形中位线定理证得结论即可；
（2）如图2，取AB的中点M，连接CM，则由直角三角形斜边上中线的性质得到CM=$\frac{1}{2}$AB．通过作该辅助线构建全等三角形△FCM≌△DFE，由该全等三角形的对应边相等证得EF=CM，则EF=$\frac{1}{2}$AB；
（3）如图2，设AB=x（x＞0）．利用直角三角形斜边上中线的性质和（2）中全等三角形的性质得到：FM=DE=8，AF=AM+MF=$\frac{1}{2}$x+8，BF=MF-BM=8-$\frac{1}{2}$x，结合已知条件AF•BF=28列出关于x的方程（$\frac{1}{2}$x+8）（8-$\frac{1}{2}$x）=28，通过解方程可以求得答案．

解答 （1）证明：过点D作DH垂直BD，交AB于点H．
∵∠C=90°，
∴DH∥AC，
∴△BDH∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DH}{AC}$，
又∵BC=AC，
∴BD=DH．
∵DE⊥BH，
∴EH=$\frac{1}{2}$BH．
∵GF⊥CD，G是CD中点，
∴GF∥AC，且GF是梯形ACDH的中位线，
∴AF=FH，
∴FH=$\frac{1}{2}$AH，
EF=EH+FH=$\frac{1}{2}$BH+$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$AB，即：EF=$\frac{1}{2}$AB．

（2）（1）中的结论成立．理由如下：
如图2，取AB的中点M，连接CM，则CM=$\frac{1}{2}$AB，CM⊥AB．
∵线段CD的垂直平分线交直线AB于点F，
∴CF=DF，
∴∠FCD=∠FDC．
∵∠FCM=45°+∠FCD，∠EFD=45°+∠CDF，
∴∠FCM=∠EFD．
∵在△FCM与△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMF=∠FED=90°}\\{FCM=∠DEF}\\{CF=FD}\end{array}\right.$，
∴△FCM≌△DFE（AAS），
∴EF=CM，则EF=$\frac{1}{2}$AB；

（3）如图2，由（2）知，△FCM≌△DFE，则FM=DE=8，
设AB=x（x＞0）．
易得AM=BM=CM=EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$x，
则AF=AM+MF=$\frac{1}{2}$x+8，BF=MF-BM=8-$\frac{1}{2}$x，
∵AF•BF=28，
∴（$\frac{1}{2}$x+8）（8-$\frac{1}{2}$x）=28，
解得x=12，即AB=12．

点评 本题考查了相似综合题．解题过程中，综合运用了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作出辅助线构造相似三角形、全等三角形是解题的难点与关键点，题目稍有难度．