Question

17．阅读理解：

方法准备：
我们都知道：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，若AD=a，BC=b，AB=c，那么四边形ABCD的面积S=$\frac{（a+b）×c}{2}$．
如图2，在四边形ABCD中，两条对角线AC⊥BD，垂足为O，则四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC×OD+$\frac{1}{2}$AC×OB=$\frac{1}{2}$AC×（OD+OB）=$\frac{1}{2}$AC×BD．
解决问题：
（1）我们以a、b 为直角边，c为斜边作两个全等的直角△ABE与△FCD，再拼成如图3所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF． 请你证明：a²+b²=c²．
（2）固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图4所示的位置（此时B，F重合），请你继续证明：a²+b²=c²．
（3）当△ABE平移到如图5的位置，结论a²+b²=c²还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，得出$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，即可得出结论；
（2）连接AD、DE，四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，得出$\frac{1}{2}$（a+b）×a=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），即可得出结论；
（3）连接AF、AD、DE，设CE=x，则BE=b，FB=a-b-x，由△ABF的面积+四边形ABCD的面积=四边形AFED的面积+△CDE的面积，得出$\frac{1}{2}$a（a-b-x）+$\frac{1}{2}$（a+b）（b+x）=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$bx，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接AD，如图1所示：
则四边形ABCD是直角梯形，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∵四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，
即$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，
化简得：（a+b）²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；
（2）证明：连接AD、DE，如图2所示：
则四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，
即$\frac{1}{2}$（a+b）×a=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），
化简得：ab+a²=c²+ab-b²，
∴a²+b²=c²；
（3）成立；理由如下：
连接AF、AD、DE，如图3所示：
设CE=x，则BE=b，FB=a-b-x，
∵△ABF的面积+四边形ABCD的面积=四边形AFED的面积+△CDE的面积，
∴$\frac{1}{2}$a（a-b-x）+$\frac{1}{2}$（a+b）（b+x）=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$bx，
化简得：a²-ab-ax+ab+ax+b²+bx=c²+bx，
∴a²+b²=c²．

点评 本题是四边形综合题目，考查了勾股定理的证明、四边形面积的计算方法、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，通过作辅助线，运用面积法证明勾股定理是解决问题的关键．