Question

6．已知△ABC和△BDE中，∠ABC=∠CDE=90°，CB=CD，连结BD、AE交于点F．
（1）如图1，若∠CAB=∠CED，探究AF与EF之间的数量关系；
（2）如图2，若∠CAB=∠ECD=α，求$\frac{AF}{FE}$的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）过A作AH⊥CD与H，交BD于G，由∠CDE=∠ABC=90°，于是得到AG∥ED，根据平行线的性质得到∠FED=∠FAG，∠FDE=∠FGA，根据等腰三角形的性质得到∠CDB=∠CBD，由余角的性质得到∠BGA=∠DGH=∠ABD，求得△ABG是等腰三角形，得到AB=AG，推出△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质得到AB=DE，等量代换得到AG=DE，证得△EFD≌△AGF，即可得到结论；
（2）根据△FAG∽△FDE，于是得到$\frac{AF}{EF}=\frac{ED}{AG}$，等量代换得到$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{AG}$，根据三角函数的定义对对对AB=$\frac{CB}{tanα}$，ED=$\frac{CD}{tanα}$，于是得到结论．

解答 解：（1）过A作AH⊥CD与H，交BD于G，
∵∠CDE=∠ABC=90°，
∴AG∥ED，
∴∠FED=∠FAG，∠FDE=∠FGA，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠DGH+∠CDB=90°，
∵∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠BGA=∠DGH=∠ABD，
∴△ABG是等腰三角形，
∴AB=AG，
在△ABC与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠CDE}\\{∠BAC=∠DCE}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDE，
∴AB=DE，
∴AG=DE，
在△DEF与△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FED=∠GAF}\\{∠EFC=∠AFG}\\{EF=AG}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△AGF，
∴EF=AF；

（2）∵∠FED=∠FAG，∠FDE=∠FGA，
∴△FAG∽△FDE，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{ED}{AG}$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{AG}$，
∵∠CAB=∠ECD=α，
∴AB=$\frac{CB}{tanα}$，ED=$\frac{CD}{tanα}$，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．