Question

1．已知AB∥CD，点P是AC上的一点，且∠PBC=∠PDC，AB=kBC
（1）若k=1，探索PD与PB的关系，并证明；
（2）若∠ABC=90°，探索PD与PB关系，并证明；
（3）如图3，探索PD与PB关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）若k=1，则PD=PB．首先根据k=1，判断出∠BCA=∠BAC，再根据AB∥CD，判断出∠DCP=∠BAC，据此推得∠BCA=∠DCP；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PBC≌△PDC，即可推得PD=PB．
（2）若∠ABC=90°，则PD=$\frac{PB}{k}$．首先根据AB∥CD，∠ABC=90°，推得∠BCD=90°，设∠ACB=α，则∠ACD=90°-α；然后在△PBC和△PCD中，由正弦定理以及∠PBC=∠PDC，推得$\frac{PB}{sinα}=\frac{PD}{sin（90°-α）}$=$\frac{PD}{cosα}$，再根据AB=kBC，推得PD=$\frac{PB}{k}$即可．
（3）PD与PB关系为：PD=$\frac{PB}{k}$．首先根据AB∥CD，可得∠DCP=∠BAC，设∠ACB=α，∠BAC=β，则∠DCP=β；然后在△PBC和△PCD中，由正弦定理以及∠PBC=∠PDC，推得$\frac{PB}{PD}$=$\frac{sinα}{sinβ}$；最后在△ABC中，由正弦定理以及AB=kBC，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{sinα}{sinβ}$=k，据此推得PD=$\frac{PB}{k}$即可．

解答 解：（1）若k=1，则PD=PB．
证明：如图1，

∵k=1，
∴AB=kBC=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAC，
∴∠BCA=∠DCP，
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCP=∠DCP}\\{∠PBC=∠PDC}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC（AAS），
∴PD=PB．

（2）若∠ABC=90°，则PD=$\frac{PB}{k}$．
证明：如图2，

∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
设∠ACB=α，则∠ACD=90°-α，
在△PBC中，由正弦定理，可得
$\frac{PB}{sinα}=\frac{PC}{sin∠PBC}$
在△PCD中，由正弦定理，可得
$\frac{PD}{sin（90°-α）}=\frac{PC}{sin∠PDC}$
∵∠PBC=∠PDC，
∴sin∠PBC=sin∠PDC，
∴$\frac{PC}{sin∠PBC}=\frac{PC}{sin∠PDC}$，
∴$\frac{PB}{sinα}=\frac{PD}{sin（90°-α）}$=$\frac{PD}{cosα}$，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{sinα}{cosα}=tanα$，
又∵AB=kBC，
∴tanα=$\frac{AB}{BC}=k$，
∴$\frac{PB}{PD}=k$，
∴PD=$\frac{PB}{k}$．

（3）PD与PB关系为：PD=$\frac{PB}{k}$．
证明：如图3，

∵AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAC，
设∠ACB=α，∠BAC=β，
则∠DCP=β，
在△PBC中，由正弦定理，可得
$\frac{PB}{sinα}=\frac{PC}{sin∠PBC}$
在△PCD中，由正弦定理，可得
$\frac{PD}{sinβ}=\frac{PC}{sin∠PDC}$
∵∠PBC=∠PDC，
∴sin∠PBC=sin∠PDC，
∴$\frac{PC}{sin∠PBC}=\frac{PC}{sin∠PDC}$，
∴$\frac{PB}{sinα}=\frac{PD}{sinβ}$，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{sinα}{sinβ}$，
∵AB=kBC，
∴$\frac{AB}{BC}=k$，
在△ABC中，由正弦定理，可得
$\frac{AB}{sinα}=\frac{BC}{sinβ}$
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{sinα}{sinβ}$=k，
∴$\frac{PB}{PD}=\frac{AB}{BC}=k$，
∴PD=$\frac{PB}{k}$．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了正弦定理的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．