Question

4．二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，其图象顶点为D，已知点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（2，-1）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）试问△ABD与△BCO是否相似？并证明你的结论；
（3）已知P是此二次函数图象上的点，且∠PAB=∠ACB，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式求出函数解析式，即可得解；
（2）由（1）中的二次函数解析式即可求得点C、D的坐标．然后根据两点间的距离公式、勾股定理以及等腰三角形的判定推知△ABD和△BCO都是等腰直角三角形，所以它们相似；
（3）首先求出tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，进而得出过A（1，0）的直线为y=±$\frac{1}{2}$（x-1），将两函数联立求出交点坐标即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+3的图象过点C的坐标为（0，3），顶点D的坐标为（2，-1）．
∴设抛物线解析式为：y=a（x-2）²-1，
将（0，3）代入得：
3=4a-1，
解得：a=1，
故抛物线解析式为：y=（x-2）²-1=y=x²-4x+3；

（2）△ABD与△BCO相似．
理由如下：如图，
∵由（1）知，该抛物线的解析式是y=x²-4x+3=（x-2）²-1．
故C（0，3），D（2，-1）．
∵OC=OB=3，
∴△BCO是等腰直角三角形．
又∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，-1），
∴AD=BD=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AB²=AD²+BD²
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴△ABD与△BCO相似；

（3）如图，延长CA，并过B点做垂直于CA的直线与CA相交与E点，
∵∠CAO=∠BAE，
∠COA=∠BEA，
∴△COA∽△BEA，
∴$\frac{CA}{BA}$=$\frac{CO}{BE}$=$\frac{OA}{EA}$，
根据勾股定理，CA=$\sqrt{10}$，
则EA=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，EB=$\frac{6}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
tan∠ACB=$\frac{BE}{AC+AE}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠APB=∠ACB，
则tan∠APB=$\frac{1}{2}$，
令过A（1，0）的直线为y=k（x-1），
∵∠PAB=∠ACB，
故k=±tan∠ACB=±$\frac{1}{2}$，
故：y=±$\frac{1}{2}$（x-1），
分别与y=x²-4x+3联立得：$\frac{1}{2}$（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{7}{2}$，
∴y₁=0，y₂=-$\frac{3}{4}$，
-$\frac{1}{2}$（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{5}{2}$，
∴y₁=0，y₂=$\frac{5}{4}$，
∵A点坐标为：（1，0），
综上所述：符合题意的点的坐标为：P（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及两函数交点坐标求法和相似三角形的判定与性质等知识，得出过点A符合要求的直线解析式是解题关键．