Question

19．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交干点E，EC与AD相交于点F，过C点作CG∥AD，交BA的延长线于G，过A作BC的平行线交CG于H点．
（1）若∠BAC=90°，求证：四边形ADCH是菱形；
（2）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．

Answer 1

分析 （1）首先判定四边形ADCH是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边判定AD=CD，则易推知结论；
（2）由AD=AC，可推出∠ADC=∠ACD；因为ED垂直平分BC，所以BE=CE，进而可得∠ECB=∠B，所以△ABC∽△FCD；
（3）首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．

解答 （1）证明：∵CG∥AD，AH∥CD，
∴四边形ADCH是平行四边形．
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD，
∴四边形ADCH是菱形；
（2）解：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠FCD，
∴△ABC∽△FCD；
（3）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵AD=AC，
∴DM=CM，
∴BD：BM=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AM，
∴△BDE∽△BMA，
∴ED：AM=BD：BM=2：3，
∵DE=3，
∴AM=4.9，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴$\frac{{S}_{△FCD}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CD}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AM=$\frac{1}{2}$×8×4.5=18，
∴S_△FCD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{9}{2}$．

点评 此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．解题的关键是正确作出图形的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．