Question

8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与≌△ADE时，求BP的长；
（2）设BP=x，CE=y，确定y与x的函数关系式；
（3）当x取何值时，AE的长最短，求x的值和AE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=∠C=90°，当△APE与≌△ADE时，AP=AD=4，由勾股定理求出BP即可；
（2）由角的互余关系得出∠BAP=∠EPC，由∠B=∠C=90°，证明△ABP∽△PCE，得出对应边成比例，即可得出y与x的函数关系式；
（3）AE的长最短时，DE最短，CE最长，由y与x的函数关系式得出x=2时，y最大=$\frac{4}{3}$，得出DE的最小值=$\frac{5}{3}$，由勾股定理求出AE即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=∠C=90°，
∴AD＞AB，
∴当△APE与≌△ADE时，AP=AD=4，
∴BP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$；
（2）∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠APB+∠EPC=90°，
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EPC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴$\frac{BP}{CE}=\frac{AB}{PC}$，即$\frac{x}{y}=\frac{3}{4-x}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；
（3）AE的长最短时，DE最短，CE最长，
由（2）得：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{4}{3}$，
即x=2时，y最大=$\frac{4}{3}$，
即CE的最大值=$\frac{4}{3}$，
∴DE的最小值=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{13}{3}$；
即当x=2时，AE的长最短=$\frac{13}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别时（3）中，需要运用二次函数的最值和勾股定理才能得出结果．