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    （1）已知，如图△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°．请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

    （2）已知：在△ABC中，∠C是其最小的内角，过点B的一条直线BD把这个三角形分割成两个等腰三角形，直线BD交AC边于点D．
    ①若∠C是△BCD的顶角，请探求∠ABC与∠C之间的关系；
    ②若∠C是△BCD的底角，∠BDC是△BCD的顶角．请探求∠ABC与∠C之间的关系；
    ③是否存在∠C是底角且∠CBD是顶角的等腰△BCD？若存在，请探求∠ABC与∠C之间的关系；若不存在，说明理由．

    解：（1）如图所示：

    （2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
    ①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB＜90°，∠CBD=∠C=（180°-x）=90°-x，∠A=180°-x-y．
    此时只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-（90°-x），
    ∴3x+4y=540°，即∠ABC=135°-∠C．

    ②若∠C是底角，
    第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
    由AB=AD，得2x=y-x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．
    由AB=BD，得180°-x-y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C．
    由AD=BD，得180°-x-y=y-x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角．
    第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°，此时只能有AD=BD，
    从而∠A=∠ABD=∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
    ∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．
    综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135°-∠C．
    或∠ABC=3∠C．

    ③由BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°，
    此时只能有AD=BD，
    从而∠A=∠ABD=∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
    分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
    （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
    点评：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．
    第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．由
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    		3
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    π
    ．

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    		3
    3
    x2-
    2
    		3
    3
    x+
    		3
    的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交精英家教网于C点，⊙M经过原点O及点A、C，点D是劣弧
    OA
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