Question

2．探究题：
（1）在正△ABC中（图1），AB=2，AD⊥BC于D，求S_△ABC．
（2）在正△AB₁C₁中（图2），B₁C₁=2，AB₂⊥B₁C₁于B₂，以AB₂为边作正△AB₂C₂，AC₁、B₂C₂交于B₃，以AB₃为边作正△AB₃C₃，依此类推．
①写出第n个正三角形的周长；（用含n的代数式表示）
②写出第n个正三角形的面积．（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由AD为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到D为BC的中点，求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，进而求出S，
（2）根据（1）同理求出C₂、S₂，C₃、S₃依此类推，得到C_n、S_n．

解答 解：（1）在正△ABC中，AB=2，AD⊥BC于D，
∴BD=1，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）由（1）可知AB₂=$\sqrt{3}$，
∴C₁=3×2×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁰，
S₁=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵等边三角形AB₂C₂的边长为$\sqrt{3}$，AB₃⊥B₂C₂，
∴AB₃=$\frac{3}{2}$，
∴C₂=2×3×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）¹，S₂=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×2²×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³，
∵等边三角形AB₃C₃的边长为$\frac{3}{2}$，AB₄⊥B₃C₃，
∴AB₄=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴C₃=3×2×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，S₃=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×2²×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁵
依此类推，C_n=6（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）^n-1
S_n=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）^2n-1．
故第n个正三角形的周长为6（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）^n-1，第n个正三角形的面积是2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）^2n-1．

点评 此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．