Question

如图，已知直线y=2x+2交y轴于点A，交x轴于点B，直线l：y=-3x+9
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的函数关系式，并指出此函数的函数值随x的增大而增大时，x的取值范围；
（2）若点E在（1）中的抛物线上，且四边形ABCE是以BC为底的梯形，求梯形ABCE的面积；
（3）在（1）、（2）的条件下，过E作直线EF⊥x轴，垂足为G，交直线l于F．在抛物线上是否存在点H，使直线l、FH和x轴所围成的三角形的面积恰好是梯形ABCE面积的？若存在，求点H的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线AB的解析式为y=2x+2，
∴点A、B的坐标分别为A（0，2）、B（-1，0）；
又直线l的解析式为y=-3x+9，∴点C的坐标为（3，0）．
由上，可设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点A的坐标代入，得：a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+2，
∴抛物线的对称轴为x=1；
由于抛物线的开口向下，所以函数值随x的增大而增大时，x的取值范围是x≤1．

（2）过A作AE∥BC，交抛物线于点E；显然，点A、E关于直线x=1对称，
∴点E的坐标为E（2，2）；
故梯形ABCE的面积为 S=（2+4）×2=6．

（3）假设存在符合条件的点H，作直线FH交x轴于M；
由题意知，S_△CFM=3，设F（m，n），易知m=2；
将F（2，n）的坐标代入y=-3x+9中，可求出n=3，则FG=3；
∴S_△CFM=FG•CM=3，∴CM=2．
由C（3，0）知，M₁（1，0）、M₂（5，0），
设FM的解析式为y=kx+b：
由M₁（1，0）、F（2，3）得，FM₁解析式为y=3x-3，则FM₁与抛物线的交点H满足：
，
整理得，2x²+5x-15=0，
∴x=，
由M₂（5，0）、F（2，3）得，FM₂解析式为y=-x+5，则FM₂与抛物线的交点H满足：
，整理得，2x²-7x+9=0，
∵△＜0，∴不符合题意，舍去；
即：H点的横坐标为．
分析：（1）已知直线AB和直线l的解析式，易求得A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；进而得出抛物线的对称轴方程，抛物线的开口向下，在对称轴左侧函数的函数值随x的增大而增大．
（2）四边形ABCE是梯形，且以BC为底，所以AE必与x轴平行，即A、E关于抛物线对称轴对称，由此能求得点E的坐标和AE的长，再根据梯形的面积公式求解即可．
（3）在（2）题中已求得了梯形ABCE的面积，则直线l、FH和x轴所围成的三角形的面积可得；将E点的横坐标代入直线l的解析式中即可求出F点的坐标，设FH与x轴的交点为M，以CM为底，点F的纵坐标的绝对值为高即可表达出△FMC的面积，再根据上面求得的面积具体值，即可求出CM的长由此得出点M的坐标；首先求出直线FM的解析式，联立抛物线的解析式即可得出H点的横坐标．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、函数增减性的判定、图形面积的解法等重要知识；最后一题中，要注意分情况讨论，以免漏解．