Question

如图，四边形OABC是一张边长为4的正方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，D为BC中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与BD交于点M．现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段MN上的点F处，折痕与y轴的交点记为E．
（1）求点F的坐标和∠FDM的大小；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点P在直线DE上，且△PEF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理求得MF的长，即可求得F的坐标，解直角三角形DMF，根据sin∠FDM=

DM

DF

=

3

2

，即可求得∠FDM的大小；
（2）解直角三角形CDE，求得CE的长，即可求得E的坐标，应用待定系数法即可求得直线DE的解析式；
（3）分三种情况讨论求得．

解答：解：（1）∵D为BC中点，
∴CD=2，
∴D（2，4），DM=1，
在RT△DMF中，DM=1，DF=CD=2，
∴MF=

DF2-DM2

=

3

，
∴FN=4-

3

，
∴F（3，4-

3

），
∵sin∠FDM=

DM

DF

=

3

2

，
∴∠FDM=60°．

（2）∵∠FDM=60°，
∴∠CDE=60°，
∴tan∠CDE=tan60°=

CE

CD

，
∴CE=

3

×2=2

3

，
∴OE=4-2

3

，
∴E（0，4-2

3

），
设直线DE的解析式为：y=kx+b，
∴

4=2k+b 4-2 3 =b

，
解得：

k= 3 b=4-2 3

．
∴直线DE的解析式为：y=

3

x+4-2

3

；

（3）∵E（0，4-2

3

），F（3，4-

3

），
∴EF=

32+(4- 3 -4+2 3 )2

=2

3

，
设P（m，

3

m+4-2

3

），
当PE=EF时，则PE²=m²+（

3

m+4-2

3

-4+2

3

）²=4m²，
∵4m²=（2

3

）²，
解得：m=

3

，或m=-

3

，
当PE=PF时，∵PE²=4m²，PF²=（m-3）²+（

3

m+4-2

3

-4+

3

）²=4m²-12m+12，
∴4m²-12m+12=4m²，解得：m=1，
当PF=EF时，则4m²-12m+12=（2

3

）²，
解得：m=3，或m=0（舍去），
所以P的坐标为（

3

，7-2

3

）或（-

3

，1-2

3

）或（1，4-

3

）或（3，4+

3

）．

点评：本题考查了直线的交点坐标的求法，待定系数法求解析式，应用直角三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，（3）分三种情况讨论是本题的关键．