Question

【题目】在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.

(1)连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(2)连接DE，如图②，求证：BD2+CD2=2AD2

(3)如图③,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=，CD=1，则AD的长为 ▲ .(直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）BC=DC+EC，理由见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据本题中的条件证出△BAD≌△CAE（SAS）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.

（2）由（1）中的条件可得∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°, 所以CE2+CD2=ED2,可推出BD2+CD2=,再根据勾股定理可得出结果.

（3）作AE⊥AD,使AE=AD，连接CE,DE,可推出△BAD≌△CAE（SAS）,所以BD=CE=,再根据勾股定理求得DE.

解：（1）结论：BC=DC+EC

理由：如图①中,

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE,

在△BAD和△CAE中,

,

∴△BAD≌△CAE（SAS）;

∴BD=CE,

∴BC=BD+CD=EC+CD,

即：BC=DC+EC.

（2）BD2+CD2=2AD2,

理由如下：连接CE,

由（1）得，△BAD≌△CAE,

∴BD=CE，∠ACE=∠B,

∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°,

∴CE2+CD2=ED2,

即：BD2+CD2=ED2;

在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,

∴ED2=2AD2;

∴BD2+CD2=2AD2;

（3）AD的长为(学生直接写出答案）.

作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,

∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,

即∠BAD=∠CAE,

在△BAD与△CAE中,

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE.

∴△BAD≌△CAE（SAS）,

∴BD=CE=,

∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,

∴∠EDC=90°,

∴DE2=CE2-CD2=（）2-12=12,

∴DE=2,

∵∠DAE=90°,AD2+AE2=DE2,

∴AD=.