Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C（0，3），且对称轴方程为x=1
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题须根据抛物线与x轴的交点和对称轴方程即可得出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为．
（2）本题须根据A、C、B的坐标运用待定系数法即可求出求抛物线的解析式．
（3）本题须分以CD为底边和以CD为一腰两种情况分类讨论，即可得出△PDC是等腰三角形符合条件的点P的坐标．
（4）本题须根据勾股定理，∠BCD=90° 再由抛物线对称性可知点坐标M为（2，3）．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），对称轴方程为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）．

（2）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为 y=ax²+bx+3（a不等于0）根据题意，得 a-b+3=0 9a+3b+3=0 解得 a=-1，b=2，∴抛物线的解析式为 y=-x²+2x+3

（3）存在由y=-x²+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1
①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）² 即y=4-x 又P点（x，y）在抛物线上，
∴4-x=-x²+2x+3，即 x²-3x+1=0 解得 x=

3± 5

2

，

3- 5

2

＜1 （舍去）∴x=

3+ 5

2

∴y=4-x=

5- 5

2

，
即点P坐标为 （

3+ 5

2

，

5- 5

2

）
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）
∴符合条件的点P坐标为（

3+ 5

2

，

5- 5

2

） 或（2，3）

（4）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=3

2

，CD=

2

，BD=2

5

∴CD²+CB²=BD²=20
∴∠BCD=90°
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中∵CF=DF=1∴∠CDF=45°
由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3）
∴DM∥BC∴四边形BCDM为直角梯形由∠BCD=90°及题意可知以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意二次函数的有关性质以及数形结合思想、分类讨论思想的应用．