Question

如图，正方形ABCD各顶点均在正方形EFGH的各边上（GB＜BF），且两正方形面积分别为25和49，则tan∠ABF=

 

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Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：由两正方形面积分别为25和49，求得正方形的边长，根据正方形的性质可得AB=BC，再根据同角的余角相等求出∠ABF=∠BCG，然后利用“角角边”证明△ABF和△BCG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CG，AF=GB，然后表示出AF，再利用勾股定理列式求出AB²，求得AF、BF，进一步求得tan∠ABF即可．

解答：解：∵四边形ABCD和EFGH是正方形，
∴AB=BC，∠ABF+∠GBC=∠GBC+∠GCB，
∴∠ABF=∠BCG，
在△ABF和△CBG中，

∠F=∠G ∠ABF=∠BCG AB=BC

，
∴△ABF≌△CBG（AAS），
∴BF=CG，AF=GB，
∵两正方形面积分别为25和49，
∴AB=5，FG=7，
设AF=x，则BF=7-x，
由勾股定理得：
x²+（7-x）²=25，
解得：x=3或4，
∵GB＜BF，
∴AF=3，BF=7-3=4，
∴tan∠ABF=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟记正方形的性质确定出三角形全等的条件是解题的关键．