Question

10．已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．

（1）如图1，若点B在OP上，则
①AC=OE（填“＜”，“=”或“＞”）；
②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是AC²+CO²=CD²；
（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；
（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式CO-CA=$\sqrt{2}$CD．

Answer 1

分析 （1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；
②根据勾股定理可得：AC²+CO²=CD²；
（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC²+OC²=FO²+OE²=EF²，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；
（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE²=2CD²，等量代换可得结论（OC-OE）²=（OC-AC）²=2CD²，开方后是：OC-AC=$\sqrt{2}$CD．

解答 解：（1）①AC=OE，
理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠AOB=45°，
∵OP⊥MN，
∴∠COP=90°，
∴∠AOC=45°，
∵AC∥OP，
∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，
∴AC=OC，
连接AD，
∵BD=OD，
∴AD=OD，AD⊥OB，
∴AD∥OC，
∴四边形ADOC是正方形，
∴∠DCO=45°，
∴AC=OD，
∴∠DEO=45°，
∴CD=DE，
∴OC=OE，
∴AC=OE；
②在Rt△CDO中，
∵CD²=OC²+OD²，
∴CD²=AC²+OC²；
故答案为：AC²+CO²=CD²；
（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：
连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，
∵AB=AO，D为OB的中点，
∴AD⊥OB，
∴∠ADO=90°，
∵∠CDE=90°，
∴∠ADO=∠CDE，
∴∠ADO-∠CDO=∠CDE-∠CDO，
即∠ADC=∠EDO，
∵∠ADO=∠ACO=90°，
∴∠ADO+∠ACO=180°，
∴A、D、O、C四点共圆，
∴∠ACD=∠AOB，
同理得：∠EFO=∠EDO，
∴∠EFO=∠AOC，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠DCO=45°，
∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，
∴OC=OF，
∵∠ACO=∠EOF=90°，
∴△ACO≌△EOF，
∴OE=AC，AO=EF，
∴AC²+OC²=FO²+OE²=EF²，
Rt△DEF中，EF＞DE=DC，
∴AC²+OC²＞DC²，
所以（1）中的结论②不成立；
（3）如图3，结论：OC-CA=$\sqrt{2}$CD，
理由是：连接AD，则AD=OD，
同理：∠ADC=∠EDO，
∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠CAB=∠AOC，
∵∠DAB=∠AOD=45°，
∴∠DAB-∠CAB=∠AOD-∠AOC，
即∠DAC=∠DOE，
∴△ACD≌△OED，
∴AC=OE，CD=DE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE²=2CD²，
∴（OC-OE）²=（OC-AC）²=2CD²，
∴OC-AC=$\sqrt{2}$CD，
故答案为：OC-AC=$\sqrt{2}$CD．

点评 本题是几何变换的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、旋转的性质、勾股定理、四点共圆的性质等知识，并运用了类比的思想解决问题，有难度，尤其是第二问，结论不成立，要注意辅助线的作法；本题的2、3问能标准作图是关键．