Question

【题目】如图，点D在△ABC的边AB上，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：CD=AF；
（2）若∠AED=2∠ECD，求证：四边形ADCF是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CF∥AB，

∴∠EFC=∠ADE，

则在△AED和△CFE中，

，

∴△AED≌△CFE，

∴DE=FE，

又∵AE=CE，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴CD=AF

（2）证明：∵∠AED=2∠ECD，∠AED=∠ECD+∠EDC，

∴∠EDC=∠ECD，

∴DE=EC，

又∵DE=FE，AE=CE，

∴AC=DF，

∴平行四边形ADCF是矩形．

【解析】（1）首先证明△AED≌△CFE，即可证得四边形ADCF的对角线互相平分，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得；（2）利用三角形的外角的性质即可证得∠EDC=∠ECD，则根据等角对等边即可证得DE=EC，从而证明平行四边形ADCF的对角线相等，即可证得．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定方法的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形才能正确解答此题．