Question

4．找规律：观察下面一列数．探求其规律：4，7，10，13，16，19，22，…
（1）第n个数是3n+1：
（2）在这列数中，是否存在连续三个数的和是99？若存在．求出这三个数；若不存在．说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知得如下规律：
第1个数：4=1×3+1
第2个数：7=2×3+1
第3个数：10=3×3+1
第4个数：13=4×3+1
第5个数：16=5×3+1
第6个数：19=6×3+1
第7个数：22=7×3+1
因此得出第n个数为3n+1
（2）可以利用反证法，首先假设存在这样的三个数和为99，利用连续数之间相差3，可以设出三个数为：m-3、m、m+3，求出m值，再利用第一问求得第n个数的通项公式求得n值为分数．与n为正整数相矛盾，从而证得这列数中，不存在连续三个数的和是99．

解答 （1）解：根据已知4，7，10，13，16，19，22，…
得如下规律：
第1个数：4=1×3+1
第2个数：7=2×3+1
第3个数：10=3×3+1
第4个数：13=4×3+1
第5个数：16=5×3+1
第6个数：19=6×3+1
第7个数：22=7×3+1
…
第n个数：n×3+1
∴第n个数为3n+1
故答案为：3n+1
（2）不存在，
理由如下：
假设在这列数中存在这样的三个数和为99，
设三个数为：m-3、m、m+3，
∴m-3+m+m+3=99
得m=33
令3n+1=33
解得n=$\frac{32}{3}$．
∵n为项数，必须为正整数，
∴n=$\frac{32}{3}$不符合题意，
∴假设不成立
故在这列数中，不存在连续三个数的和是99．

点评 本题考查等差数列的通项公式，本题可以将每个数字分析可以得出他们相同规律为3×n+1，同时也考察反证法．题目第一问较简单，第二问有些难度，可以很好地考查学生的智慧，也体现出数学的概括性和美丽．