Question

如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=

1

2

x²交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=-

1

2

时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-因式分解法,根与系数的关系,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可．
（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．
（3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB=90°出发，可构造k型相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D的坐标．由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．

解答：解：（1）∵当x=-2时，y=（-2）k+2k+4=4．
∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（-2，4）．
∴点C的坐标为（-2，4）．

（2）∵k=-

1

2

，
∴直线的解析式为y=-

1

2

x+3．
联立

y=- 1 2 x+3 y= 1 2 x2

，
解得：

x=-3 y= 9 2

或

x=2 y=2

．
∴点A的坐标为（-3，

9

2

），点B的坐标为（2，2）．
过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，
过点A作AM⊥PQ，垂足为M，
过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．
∴y_P=

1

2

a²，y_Q=-

1

2

a+3．
∵点P在直线AB下方，
∴PQ=y_Q-y_P
=-

1

2

a+3-

1

2

a²
∵AM+NB=a-（-3）+2-a=5．
∴S_△APB=S_△APQ+S_△BPQ
=

1

2

PQ•AM+

1

2

PQ•BN
=

1

2

PQ•（AM+BN）
=

1

2

（-

1

2

a+3-

1

2

a²）•5
=5．
整理得：a²+a-2=0．
解得：a₁=-2，a₂=1．
当a=-2时，y_P=

1

2

×（-2）²=2．
此时点P的坐标为（-2，2）．
当a=1时，y_P=

1

2

×1²=

1

2

．
此时点P的坐标为（1，

1

2

）．
∴符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1，

1

2

）．

（3）过点D作x轴的平行线EF，
作AE⊥EF，垂足为E，
作BF⊥EF，垂足为F，如图2．

∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AED=∠BFD=90°．
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，
∴△AED∽△DFB．
∴

AE

DF

=

ED

FB

．
设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，
则点A、B、D的纵坐标分别为

1

2

m²、

1

2

n²、

1

2

t²．
AE=y_A-y_E=

1

2

m²-

1

2

t²．
BF=y_B-y_F=

1

2

n²-

1

2

t²．
ED=x_D-x_E=t-m，
DF=x_F-x_D=n-t．
∵

AE

DF

=

ED

FB

，
∴

1 2 m2- 1 2 t2

n-t

=

t-m

1 2 n2- 1 2 t2

．
∴

(m+t)(m-t)

2(n-t)

=

2(t-m)

(n+t)(n-t)

．
∵t≠m，t≠n，
∴

m+t

2

=

-2

n+t

去分母并整理得：mn+（m+n）t+t²+4=0．
∵点A、B是直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=

1

2

x²交点，
∴m、n是方程kx+2k+4=

1

2

x²即x²-2kx-4k-8=0两根．
∴m+n=2k，mn=-4k-8．
∴-4k-8+2kt+t²+4=0，
即t²+2kt-4k-4=0．
即（t-2）（t+2k+2）=0．
∴t₁=2，t₂=-2k-2（舍）．
∴定点D的坐标为（2，2）．
过点D作x轴的平行线DG，
过点C作CG⊥DG，垂足为G，如图3所示．

∵点C（-2，4），点D（2，2），
∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4．
∵CG⊥DG，
∴DC=

GC2+DG2

=

22+42

=

20

=2

5

．
过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图3所示，
∴DH≤DC．
∴DH≤2

5

．
∴当DH与DC重合即DC⊥AB时，
点D到直线AB的距离最大，最大值为2

5

．
∴点D到直线AB的最大距离为2

5

．

点评：本题考查了解方程组、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，考查了通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法，综合性比较强．构造K型相似以及运用根与系数的关系是求出点D的坐标的关键，点C是定点又是求点D到直线AB的最大距离的突破口．