Question

如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，-1），另一顶点B坐标为（-2，0），已知二次函数y=

3

2

x²+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=

10

2

时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．
（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
（3）计算易得，BC=

10

，因为Q为BC的中点，PQ=

10

2

恰为半径，则易作圆，P点必在圆上．分三种情况进行解答．

解答：解：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（-1，-3）．
将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=

3

2

x²+bx+c，
解得 b=

3

2

，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=

3

2

x²+

3

2

x-3．

（2）设l_BC：y=kx+b，
∵B（-2，0），C（-1，-3），
∴

0=-2k+b -3=-k+b

，
解得

k=-3 b=-6

，
∴l_BC：y=-3x-6，
设M（x_M，-3x_M-6），N（x_N，

3

2

x_N²+

3

2

x_N-3），
∵x_M=x_N（记为x），y_M≥y_N，
∴线段MN长度=-3x-6-（

3

2

x²+

3

2

x-3）=-

3

2

（x+

3

2

）²+

3

8

，（-2≤x≤-1），
∴当x=-

3

2

时，线段MN长度为最大值

3

8

．

（3）答：P在抛物线外时，BP+CP=

2

AP；P在抛物线上时，BP+CP=

2

AP；P在抛物线内，PC-PB=

2

PA．
分析如下：

如图2，以Q点为圆心，

10

2

为半径作⊙Q，
∵OB=2，OA=1，
∴AC=AB=

AO2+OB2

=

5

，
∴BC=

AC2+AB2

=

10

，
∴BQ=CQ=

10

2

，
∵∠BAC=90°，
∴点B、A、C都在⊙Q上．
①P在抛物线外，

如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∵BD′与y轴平行
∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点
∴PD∥x轴
易得PC=1，PB=3，PA=2

2

∴BP+CP=

2

AP．

②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，
∵AC=AB=

5

，
∴AP=

5

，
∵BP+CP=BC=

10

，
∴BP+CP=

2

AP．

③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，
如图4，在PC上取BP=PT，

∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∴△BPT为等腰直角三角形
∴∠PBT=45°=∠1+∠2
∵∠ABC=∠3+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴

BP

BT

=

PA

CT

=

1

2

∵PC=PT+CT
∴PC=PT+

2

PA=PB+

2

PA
∴PC-PB=

2

PA
同理，如图5，也可得PB-PC=

2

PA．

点评：本题考查了三角形全等、抛物线图象与性质、函数性质及圆的基础知识，是一道综合性比较强的题目．