Question

（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：

AE

AB

=

5 -1

2

．（这个比值

5 -1

2

叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图,黄金分割

专题：作图题

分析：（1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案；
（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可．

解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC=

5

x，
∴AD=AE=（

5

-1）x，
∴

AE

AB

=

( 5 -1)x

2x

=

5 -1

2

．

（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：
①过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，
②连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，
③以B为圆心AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，
则△ABC即为所求．
．

点评：此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质，根据已知得出底边作法是解题关键．