Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax²+bx经过点B、C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）问在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得MO-MB的值最大？若存在，直接写出最大值和点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用勾股定理列式求出AC，再表示出CP、CQ，然后分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况利用∠ACO的余弦列出方程求解即可；
（3）利用抛物线解析式求出点B关于对称轴的对称点B′，判断出直线OB′与对称轴的交点即为所求作的点M，然后利用勾股定理列式求出最大值，再利用待定系数法求一次函数解析式，再根据对称轴求出点M的坐标即可．

解答：解：（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
∴点B（10，5），C（12，0），
∴

100a+10b=5 144a+12b=0

，
解得

a=- 1 4 b=3

，
∴抛物线的函数表达式为y=-

1

4

x²+3x；

（2）根据勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

52+122

=13，
∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
①∠PQC=90°时，cos∠ACO=

CQ

CP

=

OC

AC

，
即

t

13-2t

=

12

13

，
解得t=

156

37

；
②∠CPQ=90°时，cos∠ACO=

CP

CQ

=

OC

AC

，
即

13-2t

t

=

12

13

，
解得t=

169

38

，
综上所述，t为

156

37

秒或

169

38

秒时，△PQC是直角三角形；

（3）如图，设B关于对称轴的对称点B′，
∵OA=5，
∴-

1

4

x²+3x=5，
整理得，x²-12x+20=0，
解得x₁=2，x₂=8，
∴点B′（2，5），
由抛物线的对称性，BM=B′M，
∴当M为OB′与对称轴的交点时，MO-MB最大，
此时，MO-MB=OB′=

22+52

=

29

，
易求直线OB′的解析式为y=

5

2

x，
抛物线的对称轴为直线x=-

3

2×(- 1 4 )

=6，
所以，x=6时，y=

5

2

×6=15，
所以，点M（6，15）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，二次函数的对称性，难点在于（2）分情况讨论，（3）利用对称性判断出点M的位置．