Question

如图，⊙O中，点C为

AB

的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连接OA，由

CA

=

CB

，得CA=CB，根据题意可得出∠O=60°，从而得出∠OAD=90°，则AD与⊙O相切；
（2）设OC交AB于点E，由题意得OC⊥AB，求得CE=2，Rt△BCE中，由三角函数得BE=2

3

，即可得出AB的长．

解答：（1）证明：如图，连接OA，
∵

CA

=

CB

，
∴CA=CB，
又∵∠ACB=120°，
∴∠B=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
∵∠D=∠B=30°，
∴∠OAD=180°-（∠O+∠D）=90°，
∴AD与⊙O相切；

（2）解：设OC交AB于点E，由题意得OC⊥AB，
∴CE=2，
在Rt△BCE中，BE=

CE

tan∠B

=2×

3

3

=2

3

．
∴AB=2BE=4

3

．

点评：本题考查了切线的判定和解直角三角形，是中学阶段的中点，要熟练掌握．