Question

7．如图，直线y=kx+6与x轴分别交于E、F．点E坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为9，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由E点坐标代入可求得k的值；
（2）由P点坐标可表示出P到x轴的距离，则可表示出S与x之间的函数关系式，由P在第二象限可求得x的取值范围；
（3）由三角形OPA的面积OA•|y_P|=9可求得P点纵坐标，即可求得P点的位置．

解答 解：
∵直线y=kx+6与x轴分别交于E、F．点E坐标为（-8，0），
∴0=-8k+6，解得k=$\frac{3}{4}$；

（2）如图，过P作PB⊥x轴于点B，
∵k=$\frac{3}{4}$，
∴直线解析式为y=$\frac{3}{4}$x+6，
∵P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，
∴y=$\frac{3}{4}$x+6，
∴PB=$\frac{3}{4}$x+6，
∵A（-6，0），
∴OA=6，
∴S=$\frac{1}{2}$OA•PB=$\frac{1}{2}$×6（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18，
∵点P在第二象限，
∴点B在线段OA上，
∵A（-8，0），
∴-8＜x＜0，
∴S与x的函数关系式为S=$\frac{9}{4}$x+18（-8＜x＜0）；
（3）∵S_△OPA=$\frac{1}{2}$OA•|y_P|=9，P（x，y），
∴$\frac{1}{2}$×6×|y|=9，解得y=3或-3，
当y=3时，代入y=$\frac{3}{4}$x+6中得，$\frac{3}{4}$x+6=3，
∴x=-4，
∴P点坐标为（-4，3）；
当y=-3时，代入y=$\frac{3}{4}$x+6中得，$\frac{3}{4}$x+6=-3，
∴x=-12，
∴P点坐标为（-12，-3）；
综上可知，当P点运动到（-4，3）或（-12，-3）处，三角形OPA的面积为9．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识．在（1）中注意利用函数图象点的点的坐标满足函数解析式可得到关于k的方程，在（2）中用x表示出P到x轴的距离是解题的关键，在（3）中求得P点的纵坐标是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．