Question

16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax交x轴于O、A两点，过点A的直线y=-$\frac{4}{7}$ax+b交y轴于点B，AB=2$\sqrt{5}$．
（1）求a和b的值；
（2）∠AOB的平分线交AB于C，动点P在射线OC上，过点P作AB的垂线，垂足为Q，设线段PQ的长为d，求d与点P的横坐标t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作PD⊥y轴于D，连接QD、PB，当PQ=DQ时，求PB的长，并判断此时点P是否在抛物线上．

Answer 1

分析 （1）先令y=0代入抛物线的解析式中可得A的坐标，利用勾股定理可得OB的长，即得B的坐标，将A、B两点的坐标代入直线的解析式中，可得a、b的值；
（2）因为OC是直角的平分线，即第一象限的角平分线，所以OP的解析式为：y=x，则P（t，t），作辅助线构建直角三角形，由三角函数得：tan∠B=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{FC}{BF}=\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，设FC=x，则BF=2x，OF=FC=x，由面积法求OE的长，证明△PQC∽△OEC，则$\frac{PQ}{OE}=\frac{PC}{OC}$；所以分两种情况进行计算即可；
①当P在线段OC上时，如图1，
②当P在射线CP上时，如图2，
（3）如图3，作辅助线可知：QH是PD的中垂线，所以Q的横坐标为$\frac{1}{2}$t，根据AB的解析式y=-2x+4，得Q（$\frac{1}{2}$t，4-t），由勾股定理得：PQ²=QH²+PH²，代入列方程可得t的值，从而写出P的坐标，并代入抛物线的解析式可判断P是否在抛物线上．

解答 解：（1）当y=0时，ax²-2ax=0，
∵a≠0，
∴x²-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0或2，
∴A（2，0），
∴OA=2，
在Rt△AOB中，∵AB=2，$\sqrt{5}$
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
∴B（0，4），
则b=4，
把A（2，0）代入y=-$\frac{4}{7}$ax+b中得：-$\frac{4}{7}$×2a+4=0，
a=$\frac{7}{2}$，
∴a=$\frac{7}{2}$，b=4；
（2）由题意得：OP：y=x，
∴P（t，t），
过P作PD⊥y轴于D，过C作CF⊥y轴于F，过O作OE⊥AB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠POD=45°，
∴PD=OD=t，
∴OP=$\sqrt{2}$t，
tan∠B=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{FC}{BF}=\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴设FC=x，则BF=2x，OF=FC=x，
∵OB=4，
∴x+2x=4，
x=$\frac{4}{3}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•OA=$\frac{1}{2}$AB•OE，
∴$\frac{1}{2}$×2×4=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$OE，
OE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵PQ⊥AB，OE⊥AB，
∴PQ∥OE，
∴△PQC∽△OEC，
∴$\frac{PQ}{OE}=\frac{PC}{OC}$；
①当P在线段OC上时，如图1，
∴$\frac{d}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\frac{4}{3}\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{\frac{4}{3}\sqrt{2}}$，
∴$\frac{4}{3}\sqrt{2}d=\frac{4}{5}\sqrt{5}$（$\frac{4}{3}\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t），
d=-$\frac{3}{5}\sqrt{5}$t+$\frac{4}{5}\sqrt{5}$（0≤t≤$\frac{4}{3}$）；
②当P在射线CP上时，如图2，
∴$\frac{d}{\frac{4}{5}\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}t-\frac{4}{3}\sqrt{2}}{\frac{4}{3}\sqrt{2}}$，
∴d=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$t-$\frac{4}{5}\sqrt{5}$（t＞$\frac{4}{3}$）；
（3）如图3，过Q作QH⊥PD于H，
∵DQ=PQ，
∴QH是PD的中垂线，
∴Q的横坐标为$\frac{1}{2}$t，
AB：y=-2x+4，
∴Q（$\frac{1}{2}$t，4-t），
∵OD=DP=t，
∴BD=4-t，
∴QH=t-（4-t）=2t-4，
由勾股定理得：PQ²=QH²+PH²，
$（\frac{1}{2}t）^{2}+（2t-4）^{2}$=$（\frac{3\sqrt{5}}{5}t-\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}$，
49t²-224t+256=0，
（7t-16）²=0，
t₁=t₂=$\frac{16}{7}$，
Rt△BDP，BD=4-t=4-$\frac{16}{7}$=$\frac{8}{7}$，
PD=t=$\frac{16}{7}$，
由勾股定理得：PB=$\sqrt{（\frac{8}{7}）^{2}+（\frac{16}{7}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{7}$，
∴P（$\frac{16}{7}$，$\frac{16}{7}$），
由（1）得：抛物线的解析式为：y=$\frac{7}{2}{x}^{2}-7x$，
当x=$\frac{16}{7}$时，y=$\frac{7}{2}$×$（\frac{16}{7}）^{2}$-7×$\frac{16}{7}$=$\frac{16}{7}$，
∴此时点P在抛物线上．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角函数、三角形相似的性质和判定、勾股定理，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．（3）中构建直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键．