Question

9．如图，△ABC≌△A′BC′，∠ABC=90°，∠A′=30°．（0°＜∠ABA′≤60°），A′C′与AC交于点F，与AB交于点E，连接BF．当△BEF为等腰三角形时，则∠AB A′的角度为20°或40°．

Answer 1

分析 根据0°＜∠ABA′≤60°，分两种情况进行讨论：当FE=FB时，△BEF为等腰三角形；当BE=FB时，△BEF为等腰三角形，根据全等三角形对应边上的高相等，可得BP=BQ，进而得到∠PFB=∠QFB，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到∠FEB的度数，最后根据三角形外角性质即可得出∠ABA′的角度．

解答 解：如图，当FE=FB时，△BEF为等腰三角形，设∠FEB=∠FBE=α，
过B作BP⊥AC，BQ⊥A'C'，由全等三角形对应边上的高相等，可得BP=BQ，

∴点B在∠PFQ的角平分线上，
∴∠PFB=∠QFB，
∵∠PFB是△ABF的外角，
∴∠PFB=∠A+∠FBE=30°+α，
∴∠QFB=30°+α，
∵△BEF中，∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°，
∴30°+α+2α=180°，
解得α=50°，
∴∠ABA'=∠FEB-∠A'=50°-30°=20°；

如图，当BE=BF时，△BEF为等腰三角形，设∠FEB=∠BFE=α，
过B作BP⊥AC，BQ⊥A'C'，由全等三角形对应边上的高相等，可得BP=BQ，

∴点B在∠PFQ的角平分线上，
∴∠PFB=∠QFB=α，
∵∠PFB是△ABF的外角，
∴∠FBE=∠PFB-∠A=α-30°，
∵△BEF中，∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°，
∴α+α+α-30°=180°，
解得α=70°，
∴∠ABA'=∠FEB-∠A'=70°-30°=40°；
综上所述，∠ABA′的角度为20°或40°．
故答案为：20°或40°．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是依据全等三角形对应边上的高相等，得出BP=BQ，进而得到点B在∠PFQ的角平分线上．