Question

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y=x平行，AB长为4，若点P是直线l上的动点，则△PAB的内切圆面积的最大值为$\frac{1}{4}$π．

Answer 1

分析 根据AB=4以及直线l和点A的位置，求出△ABP的面积，利用三角形与内切圆关系是：r=（2×三角形面积）÷三角形周长（a+b+4），再根据a+b＞4找r的最大值后求得最大面积即可．

解答 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′交直线l于点C，

由直线y=x中k=1可知∠COA=45°，
在Rt△AOC中，OC=AC=OAcos∠AOC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
则AA′=2AC=3，
∵AB∥直线l，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAA′=90°，
连接A′B交直线l于点P，连接PA，
则此时△PAB的周长最小，S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$=3，
在Rt△AA′B中，A′B=$\sqrt{AA{′}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴△PAB周长的最小值为3+4+5=12，
由三角形内切圆的半径r=$\frac{2S}{a+b+c}$知，三角形的周长最小时，三角形内切圆的半径最大，最大半径r=$\frac{2×3}{12}$=$\frac{1}{2}$，
∴△PAB的内切圆面积的最大值为$\frac{1}{4}$π，
故答案为：$\frac{1}{4}$π．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题及三角形的内切圆的半径与三边和面积之间的关系，掌握三角形内切圆半径与周长和面积之间的关系是解题的关键．