Question

【题目】在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．
（1）如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC为等边三角形；

（2）如图2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的长度；

（3）如图3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC=AB，求∠A的度数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABC=2∠DBC

∵∠C=2∠DBC，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形

（2）

解：如图2，截取BE=AB，连接DE，

在△ABD与△EBD中， ，

∴△ABD≌△EBD，

∴∠A=∠DEB，AD=ED，

∵∠A=2∠C，

∴∠DEB=2∠C，

∵∠DEB=∠C=∠EDB，

∴∠C+∠EDB=2∠C，

∴∠C=∠EDB，

∴ED=EC，

∵AB=4.8，

∴CE=BC﹣BE=3.2，

∴AD=DE=CE=3.2

（3）

解：如图3，过B作BF平分∠DBC交AC于F，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC，

即∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，

∵∠ABC=2∠ACB，

∴∠ACB=∠ABD=∠CBD，

∵OC平分∠ACB，BF平分∠DBC，

∴∠1=∠3= ∠DBC，∠4=∠2= ∠ACB，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

在△OBC与△FCB中， ，

∴△OBC≌△FCB，

∴OC=BF，

∵AB=OC，

∴BF=AB，

∵∠ABF=∠ABD+∠3，∠AFB=∠ACB+∠1，

∵∠ABD=∠ACB，∠1=∠3，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴AB=BF=AF，

∴△ABF为等边三角形，

∴∠A=60°

【解析】（1）由BD为∠ABC的平分线，得到∠ABC=2∠DBC，等量代换得到∠ABC=∠C，证得AB=AC，即可得到结论；（2）如图2，截取BE=AB，连接DE，推出△ABD≌△EBD，根据全等三角形的性质得到∠A=∠DEB，AD=ED，由∠A=2∠C，得到∠DEB=2∠C，求出∠C=∠EDB，得到ED=EC即可得到结论；（3）过B作BF平分∠DBC交AC于F，根据角平分线的性质得到BD平分∠ABC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，由∠ABC=2∠ACB，得到∠ACB=∠ABD=∠CBD，由角平分线的定义得到∠1=∠3= ∠DBC，∠4=∠2= ∠ACB，推出△OBC≌△FCB，根据全等三角形的性质得到OC=BF，由AB=OC，得到BF=AB等量代换得到∠ABF=∠AFB，求得AB=AF，即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角的平分线的相关知识，掌握从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，以及对角平分线的性质定理的理解，了解定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．