Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠B=45°，AB=2，AC=4，△DAE是等腰直角三角形，且∠DAE=90°, D在边BC上.

（1）求BC的长；

（2）如图1，当点E在AC上时，求点E到BC的距离；

（3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）BC=；（2）；（3）

【解析】

（1）作AF⊥BC于F，根据等腰直角三角形的性质求出AF、BF，根据勾股定理求出FC，计算即可；

（2）作EH⊥BC于H，根据直角三角形的性质得到∠C=30°，根据正弦的定义求出AD，得到AE的长，求出EC，根据直角三角形的性质计算；
（3）根据题意得到点D运动到点C的位置时，点E到BC的距离的最大，仿照（2）的计算过程解答．

解：（1）作AF⊥BC于F，
∵∠B=45°，AB=2，
∴AF=BF=2

∵AC=4，
∴FC= ，

∴BC=BF+FC=；

（2）作EH⊥BC于H，
在Rt△AFC中，AF=2，AC=4，
∴∠C=30°，
∴∠ADF=60°，
∴AD= =，
∴AE=AD=，
∴EC=AC-AE=4-，
∴EH=EC=；

（3）由题意得，当点D运动到点C的位置时，点E到BC的距离的最大，如图2，
作AF⊥BC于F，EH⊥BC于H，延长EA交BC于G，
由（2）得，AG=，AE=AC=4，
∴EG=AG+AE=4+，
在Rt△EGH中，EH=EG×sin∠EGH=（4+）×=2+2．