Question

9．在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，M是边AB的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．
（1）求证：CD平分∠MCH；
（2）过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，求证：CM=EM；
（3）△AEM是什么三角形？证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性质得到∠CAB=∠ACM，由余角的性质得到∠CAB=∠BCH，等量代换得到∠BCH=∠ACM，根据角平分线的性质得到∠ACD=∠BCD，即可得到结论；
（2）根据EM⊥AB，CH⊥AB，得到EM∥AB，由平行线的性质得到∠HCD=∠MED，由于∠HCD=∠MCD，于是得到∠MCD=∠MED，即可得到结论；
（3）根据 CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出△AEB是直角三角形，由于 EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到结论．

解答 证明：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AM=CM=BM，
∴∠CAB=∠ACM，
∴∠CAB=90-∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCH=90-∠ABC，
∴∠CAB=∠BCH，
∴∠BCH=∠ACM，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD-∠ACM=∠BCD-∠BCH，
即∠MCD=∠HCD，
∴CD平分∠MCH；

（2）∵EM⊥AB，CH⊥AB，
∴EM∥CH，
∴∠HCD=∠MED，
∵∠HCD=∠MCD，
∴∠MCD=∠MED，
∴CM=EM；

（3）△AEB是等腰直角三角形，
∵CM=EM AM=CM=BM，
∴EM=AM=BM，
∴△AEB是直角三角形，
∵EM垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴△AEB是等腰三角形，
∴△AEB是等腰直角三角形．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．