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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的OAC于点D,点EBC的中点,连接DE

(1)求证:DEO的切线;

(2)求证:4DE2CDAC

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】

(1)如图,作辅助线;根据题意结合图形,证明∠ODE=90°,即可解决问题;

(2)根据圆周角定理得到∠ADBBDC=90°,根据直角三角形的性质得到BC=2DE根据相似三角形的性质即可得到结论.

(1)证明:连接ODBD

ABO的直径,

∴∠ADB=∠CDB=90°;

又∵点EBC的中点,

BEDE

∴∠BDE=∠EBD

OAOD

∴∠OAD=∠ODA

又∵∠OAD+∠OBD=90°,∠EBD+∠OBD=90°,

∴∠OAD=∠EBD,即∠ODA=∠BDE

∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°,

又∵点DO上,

DE是圆O的切线;

(2)∵ABO的直径,

∴∠ADB=∠BDC=90°,

∵点EBC的中点,

BC=2DE

∵∠ABC=90°,

∴∠ABC=∠BDC

∵∠C=∠C

∴△ABC∽△BDC

BC2CDAC

∴4DE2CDAC

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