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    正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
    （1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
    （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立???写出证明过程；若不成立，请说明理由；
    （3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

    【答案】分析：（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可证得AP⊥EF．
    （2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立．
    （3）解题思路和方法同（2）．
    解答：解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
    连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
    ∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
    ∴四边形OECF是正方形，
    ∴OM=OF=OE=AM，
    ∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
    ∴△AMO≌△FOE（AAS），
    ∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
    故AP=EF，且AP⊥EF．

    （2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
    延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
    ∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
    ∴四边形MBEP是正方形，
    ∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
    又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
    ∴AM=PF，
    ∴△AMP≌△FPE（SAS），
    ∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
    ∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
    ∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
    故AP=EF，且AP⊥EF．

    （3）题（1）（2）的结论仍然成立；
    如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．
    点评：充分利用正方形的性质，灵活的构造全等三角形，并能够根据全等三角形的性质来得到所求的条件是解决此题的关键．
    练习册系列答案
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    17、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为
    1或5
    ．

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    精英家教网如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于
     
    ．

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    如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心精英家教网，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
    （1）求证：△ODM∽△MCN；
    （2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
    （3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，12），（8，6），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q从点（1，0）出发，以相同速度沿x轴正方向运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
    （1）正方形边长
     
    ，顶点C的坐标
     
    ；
    （2）当P点在边AB上运动时，△OPQ的面积S与运动时间t（秒）的函数图象是如图②所示的抛物线的一部分，求点P，Q运动速度；
    （3）求在（2）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
    （4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A?B?C?D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，直接写出所有符合条件的t的值．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察本题的三个图形，思考下列问题
    （1）如图1，正方形ABCD中，点M是CD上异于端点的任意一点，过点C作CN⊥BM于O，且交AD于N点．求证：BM=CN；
    （2）如图2，等边△ABC中，点M是CA上异于端点的任意一点，过点C作射线CN交AB于点N、交BM于点O，且使∠BOC=120°．
    请你判断此时BM与CN的大小关系，并证明你的结论．
    （3）如图3，正n边形ABCDE…An中，点M是CD上异于端点的任意一点，过点C作射线CN交DE于点N、交BM于点O，且使BM=CN．设此时∠BOC的大小为y，请你写出y与n之间的函数关系式．
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