Question

如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为

 

；
（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；
（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先证明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后证明△ABC≌△CEN，得到AC=CN；
（2）与（1）同理可证明结论仍然成立；
（3）当旋转角为60°时，△CAN能成为等腰直角三角形，此时点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．

解答：解：（1）AC与CN数量关系为：AC=CN．理由如下：
∵△BAD≌△BCE，
∴BC=AD，EC=AB．
∵EN∥AD，
∴∠MEN=∠MDA．
在△MEN与△MDA中，

∠MEN=∠MDA ME=MD ∠EMN=∠DMA

，
∴△MEN≌△MDA（ASA），
∴EN=AD，
∴EN=BC．
在△ABC与△CEN中，

AB=EC ∠ABC=∠CEN=120° BC=EN

，
∴△ABC≌△CEN（SAS），
∴AC=CN．

（2）结论仍然成立．理由如下：
与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，∴EN=BC．
设旋转角为α，则∠ABC=120°+α，
∠DBE=360°-∠DBA-∠ABC-∠CBE=360°-30°-（120°+α）-60°=150°-α．
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=

1

2

（180°-∠DBE）=15°+

1

2

α．
∵EN∥AD，
∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=60°+（15°+

1

2

α）=75°+

1

2

α．
∴∠CEN=∠CEB+∠BED+∠MEN=30°+（15°+

1

2

α）+（75°+

1

2

α）=120°+α，
∴∠ABC=∠CEN．
在△ABC与△CEN中，

AB=EC ∠ABC=∠CEN=120° BC=EN

，
∴△ABC≌△CEN（SAS），
∴AC=CN．

（3）△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°．如下图所示：

此时旋转角为60°，点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．

点评：本题考查了图形的旋转变换．解题要点是由旋转性质得出旋转过程中不变的量，再利用全等三角形证明题设中的结论．