Question

10．如图，已知⊙A过原点O且与x轴交于点C（6，0），与y轴交于点B（0，8），P为圆上第一象限的点，连结OP，PC，设过点O，C的抛物线的顶点为D，若存在以O，C，D为顶点的三角形与△OCP相似，则P点的坐标为（$\frac{192}{25}$，$\frac{144}{25}$）．

Answer 1

分析 如图，连接BC、PC，作PH⊥OC于H．因为D是抛物线的顶点，所以OD=CD，因为△OCP由△OCD相似，推出OC=PC，推出$\widehat{OC}$=$\widehat{PC}$，
推出∠CBO=∠CBP=∠POC，于tan∠POH=tan∠CBO=$\frac{OC}{BO}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{PH}{OH}$，设PH=3k，OH=4k，在Rt△PCH中，根据PC²=PH²+CH²列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，连接BC、PC，作PH⊥OC于H．

∵D是抛物线的顶点，
∴OD=CD，
∵△OCP由△OCD相似，
∴OC=PC，
∴$\widehat{OC}$=$\widehat{PC}$，
∴∠CBO=∠CBP=∠POC，
∵点C（6，0），点B（0，8），
∴OC=CP=6，OB=8，
∴tan∠POH=tan∠CBO=$\frac{OC}{BO}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{PH}{OH}$，设PH=3k，OH=4k，
在Rt△PCH中，∵PC²=PH²+CH²，
∴6²=（3k）²+（4k-6）²，
∴k=$\frac{48}{25}$，
∴OH=4k=$\frac{192}{25}$，PH=3k=$\frac{144}{25}$，
∴点P坐标为（$\frac{192}{25}$，$\frac{144}{25}$）．
故答案为（$\frac{192}{25}$，$\frac{144}{25}$）．

点评 本题考查抛物线由x轴的交点、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．