Question

10．相信大家一定记得：在探究乘法公式、勾股定理时都采用了拼图法，然后借助所拼图形面积相等，更形象、直观地说明它们成立．希望中学数学兴趣小组的同学也利用这种数形结合思想，借助如图1所示所示的两个边长分别为a、b（a＞b）的正方形，说明平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b）成立，请你和他们一起探究吧！
（1）填空：

操作说明：把图2中的阴影部分沿虚线两次剪下来，拼成如图3中所示的矩形．
∴这个矩形的长为a+b，宽为a-b．
∴S_{阴影（矩形）}=（a+b）（a-b）．
又∵图2中S_阴影=a²-b²
∴a²-b²=（a+b）（a-b）
（2）请你提供一种不同于（1）的剪拼方法，再次说明a²-b²=（a+b）（a-b）成立．（要求：①最多剪3次，在图4中画出剪切线，用虚线表示：②画出拼图；③写出操作说明．）

Answer 1

分析 （1）图3中的矩形的长为a+b，宽为a-b，所以S_{阴影（矩形）}=（a+b）（a-b）；
（2）把图4中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图5所示的梯形，并计算面积即可．

解答 解：（1）故答案为：a+b，a-b，（a+b）（a-b）；
（2）把图4中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图5所示的梯形，
∴这个梯形的上底长为2b，下底长为2a，高为（a-b），
∴S_{阴影（梯形）}=$\frac{1}{2}$（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），
∵图4中的S_阴影=a²-b²，
∴a²-b²=（a+b）（a-b）．

点评 本题是平方差公式的几何背景，考查了平方差公式的几何推导过程，本题利用了两种拼剪方式来证明平方差公式的正确性，此类题的解题思路为：原面积=拼剪后的面积．