Question

15．已知：如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一个角α（0°＜α＜180°），得矩形BEFG，直线BG，EF交直线CD于点P，H．找出与BP相等的线段，并给出证明．

Answer 1

分析 BP=PH，由矩形的对边平行可得∠ABP=∠BPH=α、∠CHE=180°-α，根据旋转性质知∠CBE=α，BC=BE，证Rt△BCH≌Rt△BEH可得∠PHB=∠BHE=$\frac{1}{2}$∠CHE=90°-$\frac{1}{2}$α，∠HBE=∠HBC=$\frac{1}{2}$∠CBE=$\frac{1}{2}$α，结合∠PBH=∠PBE-∠HBE=90°-$\frac{1}{2}$α得∠PHB=∠PBH，从而得出BP=PH．

解答 解：BP=PH，
如图，连接PH，

∵四边形ABCD和四边形BEFG是矩形，
∴∠BCH=∠E=90°，AB∥CD、BG∥EF，
∴∠ABP=∠BPH=α，∠CHE=180°-α，
由旋转性质可得∠CBE=α，BC=BE，
在Rt△BCH和Rt△BEH中，
∵BC=BE，BH=BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BEH，
∴∠PHB=∠BHE=$\frac{1}{2}$∠CHE=90°-$\frac{1}{2}$α，∠HBE=∠HBC=$\frac{1}{2}$∠CBE=$\frac{1}{2}$α，
∴∠PBH=∠PBE-∠HBE=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠PHB=∠PBH，
∴BP=PH．

点评 本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等是解题的关键．