Question

4．如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理计算出AC=10，由于∠PCQ=∠ACB，根据三角形相似的判定，当∠PQC=∠B时可判断CQP∽△CBA，利用相似比得到$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{t}{8}$；当∠PQC=∠BAC时可判断△CQP∽△CAB，利用相似比得到$\frac{10-2t}{8}$=$\frac{t}{10}$，然后分别解方程求出t的值即可；
（2）作PQ⊥BC于H，如图，先证明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH=$\frac{30-6t}{5}$，再利用四边形ABQP与△CPQ的面积相等得到S_△ABC=2S_△CPQ，利用三角形面积公式得到2•$\frac{1}{2}$•t•$\frac{30-6t}{5}$=$\frac{1}{2}$•6•8，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠PCQ=∠ACB，
∴当∠PQC=∠B时，△CQP∽△CBA，则$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{t}{8}$，解得t=$\frac{40}{9}$（s）；
当∠PQC=∠BAC时，△CQP∽△CAB，则$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{10-2t}{8}$=$\frac{t}{10}$，解得t=$\frac{25}{7}$（s）；
∴t为$\frac{40}{9}$s或$\frac{25}{7}$s时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．理由如下：
作PQ⊥BC于H，如图，
∵PH∥AB，
∴△CPH∽△CAB，
∴$\frac{PH}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$，即$\frac{PH}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴PH=$\frac{30-6t}{5}$，
当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时，
S_△ABC-S_△CPQ=S_△CPQ，即S_△ABC=2S_△CPQ，
∴2•$\frac{1}{2}$•t•$\frac{30-6t}{5}$=$\frac{1}{2}$•6•8，
整理得t²-5t+20=0，此时方程无实数解，
∴四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．熟练应用相似比计算线段的长．