Question

【题目】如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C在⊙O上，过点D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于点E，且CD＝DE．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若AB＝8，且BC＝CE时，求BD的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 4﹣4.

【解析】

（1）连结0C，由AB为直径，得到∠ACB＝90°，求得∠E＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠OCB，等量代换得到∠E＝∠OCB，推出OC⊥CD，于是得到结论；

（2）连接OC，由（1）得出的∠BCD＝∠A，易知：∠OBC＝∠CDE，由于题中告诉了BC＝CE，可得到的条件是△OBC≌△DCE；因此OC＝CD＝6；在等腰Rt△OCD中，已知了直角边的长，即可求出斜边OD的长，进而可求出BD的长．

（1）证明：连接OC，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD+∠ECD＝90°，

在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠E＝90°﹣∠A，∠ABC＝90°﹣∠A，

∴∠E＝∠ABC，

∵OB＝OC，

∴∠ABC＝∠OCB，

∴∠E＝∠OCB，

又∵CD＝DE，

∴∠E＝∠ECD，

∴∠OCB＝∠ECD，

∴∠OCB+∠BCD＝90°，即OC⊥CD，

∴CD为⊙O的切线．

（2）由（1）知，∠OBC＝∠OCB＝∠DCE＝∠E，

在△OBC和△DCE中，，

∴△OBC≌△DCE（ASA），

∴OC＝CD＝6，

Rt△OCD中，OC＝CD＝4，∠OCD＝90°，

∴OD＝4，

即BD＝OD﹣OB＝4﹣4．