Question

8．如图，正方形ABCD中，点E在CD上（与点C、D不重合），连接AE，作BF∥AE，交直线CD于点F，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG、EG．
（1）猜想△AGE的形状，并证明；
（2）若点E在DC的延长线上，且∠AGF=120°，AD=2，请在备用图中画出图形，并求DG的长度．

Answer 1

分析 （1）由平移得到EF=AD，再由正方形的性质得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，从而证明△AGD≌△EGF即可；
（2）由（1）的结论AG=EG，AG⊥EG，得出∠GEA=45°，推导出∠AED=30°，再由三角函数即可求解．

解答 解：（1）△AGE是等腰直角三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=AD，
∵BF∥AE，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴EF=AD，
∵BD是正方形的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
∵GF⊥BD，
∴∠DGF=90°，
∴∠GFD+∠CBD=90°，
∴∠DFG=45°，
∴GD=GF，
在△AGD和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EF}\\{∠ADG=∠EFG}\\{DG=FG}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△EGF
∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，
∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，
∴AG⊥EG．
∴△AEG是等腰直角三角形；

（2）如图3，连接EG，
由（1）有，AG=EG，AG⊥EG，
∴∠GEA=45°，
∵∠AGF=120°，∠DGF=90°，
∴∠AGB=∠FGE=30°，∠DGE=60°，
∴∠DEG=75°，
∵GD=GF，
∴∠GDF=∠GFD=45°，
∴∠AED=30°，
∵BF∥AE，
∴∠BFC=∠AED=30°，
在Rt△BCF中，BC=AD=2，
∴CF=2$\sqrt{3}$，
∴DF=CD+CF=2+2$\sqrt{3}$，
∴DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定解直角三角形，平行线的性质，找出△AGD≌△EGF的条件是解本题的关键．