Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC，其中∠AEB=24°，AB=4cm．
（1）求∠ACB的度数；
（2）线段BE和EC有怎样的关系，请说明理由；
（3）求△ABE的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明△EBC是等腰直角三角形，推出∠EAO=∠CBO=45°，利用“8字型”推出∠BCO=∠AEB=24°．
（2）结论：EB=EC．见（1）中证明；
（3）作EH⊥AD于H．根据S_△ABE=S_△EDC=$\frac{1}{2}$•CD•EH，计算即可；

解答 （1）解：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠EAB=∠EDC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EBC=45°，设BE交AD于O，
∵∠AOE=∠BOC，
∴∠AEO=∠BCO=24°．
（2）结论：BE=EC．
见（1）中证明．

（3）作EH⊥AD于H．
∵AB=AD=DC=4，△AED是等腰直角三角形，
∴EH=$\frac{1}{2}$AD=2，
∵△EAB≌△EDC，
∴S_△ABE=S_△EDC=$\frac{1}{2}$•CD•EH=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．