Question

1．已知：如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，∠A=30°，AC=4，求⊙O的半径r及AB的长．

Answer 1

分析 连结OB，如图，根据切线的性质得∠ABO=90°，在Rt△AOB中利用含30°的直角三角形三边的关系得到r=$\frac{1}{2}$（r+4），解得r=4，则AB=$\sqrt{3}$OB=4$\sqrt{3}$．

解答 解：连结OB，如图，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
在Rt△AOB中，∵∠A=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$OA，即r=$\frac{1}{2}$（r+4），
∴r=4，
∴AB=$\sqrt{3}$OB=4$\sqrt{3}$．
答：⊙O的半径r和AB的长分别为4、4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．