Question

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，点E在BC的延长线上，连接AE，点F为AE的中点．求证：DF=FC．

Answer 1

分析 连接BF，根据直角三角形性质求出AF=EF=BF，求出∠FBE=∠E，根据平行线性质得出∠DAF=∠E，求出∠DAF=∠FBE，根据SAS推出△ADF≌△BCF，根据全等三角形的性质得出即可．

解答 证明：连接BF，

∵∠ABC=90°，
∴△ABE为直角三角形，
∵点F为AE的中点，
∴AF=EF=BF，
∴∠FBE=∠E，
又∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，
∴∠DAF=∠FBE，
在△ADF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠DAF=∠CBF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCF，
∴DF=FC．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，平行线的性质，直角三角形的性质的应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．