Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．

（1）求证：△BFH≌△DEG；

（2）连接DF，若DF＝BF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形EGFH是菱形，见解析.

【解析】

（1）证∠FBH=∠EDG，DE=BF，BH=DG，由SAS即可得出结论；
（2）连接EF交GH于O，由全等三角形的性质得出FH=EG，∠BHF=∠DGE，证出FH∥EG，得出四边形EGFH是平行四边形，由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠FBH＝∠EDG，

∵AE＝CF，BG＝DH，

∴DE＝BF，BH＝DG，

在△BFH和△DEG中，，

∴△BFH≌△DEG（SAS）；

（2）解：若DF＝BF，则四边形EGFH是菱形；理由如下：

连接EF交GH于O，如图：

由（1）得：△BFH≌△DEG，

∴FH＝EG，∠BHF＝∠DGE，

∴FH∥EG，

∴四边形EGFH是平行四边形，

∴OG＝OH，

∵BG＝DH，

∴OB＝OD，

∵DF＝BF，

∴EF⊥GH，

∴四边形EGFH是菱形．